По определению, данному еще Энгельсом, математика есть наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. Эти объекты математики не представляют непосредственно данной [физической] реальности. Они являются плодом абстракции. Чтобы исследовать средствами математики какой-либо предмет или явление, необходимо отвлечься от всех качественных особенностей его, кроме тех, которые непосредственно характеризуют количество или форму.

В ходе развития математики рассматриваются все более абстрактные объекты, входящие в класс количественных отношений и пространственных форм. В современных математических теориях эти формы и отношения часто предстают в весьма рафинированном, отвлеченном виде. В них говорится о множествах элементов, свойства которых и правила оперирования с ними задаются с помощью системы аксиом.

Абстрактность предмета математики иногда воспринимается некоторыми как исходный, самодовлеющий элемент в ее содержании. В таких случаях элементы исследуемых множеств представляются принципиально отделенными от вещей действительного мира, а системы аксиом, определений и операций оказываются вводимыми по произволу. Это ведет к различным разновидностям идеалистических заблуждений, отрицательно влияющих на развитие математики.

Необходимо научиться избегать подобных заблуждений. «Честно-наивного», основанного на интуиции, причисления себя к материалистам недостаточно. В. И. Ленин писал, что «без солидного философского обоснования никакие естественные науки, никакой материализм не может выдержать борьбы против натиска буржуазных идей и восстановления буржуазного мировоззрения» (В. И. Ленин. Соч., т. 33, стр. 207).

Знание истории науки существенно способствует выработке материалистического мировоззрения ученых. История показывает, что главным определяющим в развитии даже такой абстрактной науки, как математика, являются запросы материальной действительности. Абстрактность предмета математики лишь затушевывает происхождение ( зачастую сложное, многостепенное, опосредованное) всех понятий математики из материальной действительности, но ни в коем случае не отменяет его. История показывает, что запас количественных отношений и пространственных форм, изучаемых математикой, постоянно расширяется в неразрывней связи с запросами техники и естествознания, наполняя все более богатым содержанием общее определение математики.

Правильное материалистическое понимание предмета математики и знание ее истории — необходимое условие глубокого понимания подлинного места этой науки в трудовой и общественной деятельности людей, залог умения находить свое место в общей работе, понимать связь содержания своей работы с общими задачами, мировоззрением марксизма-ленинизма и борьбой за построение коммунизма.

О роли практики в развитии математики. Математика — одна из самых древних наук. Математические познания приобретались людьми уже на самой ранней стадии развития под влиянием даже самой несовершенной трудовой деятельности. По мере усложнения этой деятельности изменялась и совокупность факторов, влияющих на развитие математики.

Со времени возникновения математики как особой науки со своим собственным предметом наибольшее влияние на формирование новых понятий и методов математики оказывало математическое естествознание. Под математическим естествознанием мы понимаем комплекс наук о природе, для которых на данной ступени развития оказывается возможным приложение математических методов. Одними из самых ранних наук, оказавших влияние на прогресс математики, являются астрономия, механика, физика.

Непосредственное воздействие задач математического естествознания на развитие математики можно проследить на протяжении всей ее истории. Так например, дифференциальное и интегральное исчисление в его наиболее ранней форме исчисления флюксий возникло как наиболее общий в то время метод решения задач механики, в том числе и небесной механики. Теория полиномов, наименее уклоняющихся от нуля, была разработана русским академиком П. Л. Чебышевым в связи с исследованием паровой машины. Метод наименьших квадратов возник в связи с большими геодезическими работами, проводившимися под руководством К. Ф. Гаусса. В настоящее время под непосредственным влиянием запросов новых областей техники получают бурное развитие многие области математики: методы приближенного решения дифференциальных уравнений в частных производных и интегральных уравнений, методы теории групп и т. д.


Примеры подобного рода можно продолжать неограниченно в отношении любой области математики. Все они показывают, что математика возникла из трудовой деятельности людей и формировала новые понятия и методы в основном под влиянием математического естествознания.

Выход математики в естествознание происходит как путем приложения существующих математических теорий к практическим проблемам, так и посредством разработки новых методов их решения. Вопрос о приложимости к практике той или иной математической теории не всегда получает сразу удовлетворительное разрешение. До его решения проходят зачастую годы и десятилетия. В качестве примера возьмем теорию групп.

Теория групп ведет свое начало от рассмотрения Лагранжем групп подстановок корней алгебраических уравнений в связи с проблемой разрешимости их в радикалах. Галуа при помощи теории групп подстановок дал ответ на вопрос об условиях разрешимости в радикалах алгебраического уравнения любой степени. В дальнейшем, в середине XIX в., в трудах Кэли сформировалось общее абстрактное определение группы. Позднее С. Ли разработал теорию непрерывных групп. Однако практическое применение теория групп начала получать только с конца XIX в. В 1890 г. русский ученый Е. С. Федоров приложил теорию групп к кристаллографии: он решил с помощью этой теории задачу классификации всевозможных кристаллических пространственных решеток. Позднее теория групп сделалась мощным средством исследования в квантовой физике.

В свою очередь практика, и в частности техника, входит в математику как незаменимое вспомогательное средство научного исследования, во многом меняющее лицо математики. Введение электронных вычислительных устройств открыло неограниченные возможности для расширения класса задач, решаемых средствами математики, и изменило соотношение между методами нахождения точного и приближенного решения их. Однако, как велика ни была бы роль вычислительной техники, неизменным остается ее вспомогательный характер. Никакая, даже самая совершенная, вычислительная электронная машина не может приобрести свойств мыслящей материи — человеческого мозга, и существенно заменить его. Утверждения, в изобилии встречающиеся в иностранной литературе определенного профиля, об изобретении различных «электронных мозгов», способных якобы полностью заменить труд так называемых «интеллигентных рабочих», являются лишь частью социального заказа, выполняемого в целях устрашения трудящихся и эксплуатируемых людей и еще большего подчинения их.

© К. А. Рыбников. История математики.


comments powered by Disqus